O advogado/procurador tem acesso a todos os processos vinculados à ele na aba acervo.
Fonte: Wiki do CNJ
http://www.cnj.jus.br/wikipje/index.php/Funcionalidades#Acervo
As caixas são organizadores que o usuário cria para separar os processos na árvore de tarefas, ajudando em seu trabalho diário. O usuário pode manualmente vincular processos às suas caixas ou pode criar regras de filtragem que permitam que os processos sejam automaticamente encaminhados para a caixa correta. As caixas são criadas dentro das tarefas, ou seja, o processo está primeiramente vinculado à tarefa e posteriormente à caixa, não perdendo sua vinculação original, sendo isso demonstrado visualmente através da hierarquia de tarefas e caixas. As caixas ficam vinculadas à tarefa e não ao usuário que as criou. Sendo assim, todos que estiverem na raia vinculada àquela tarefa terão acesso às caixas.
Fonte: Wiki do CNJ
http://www.cnj.jus.br/wikipje/index.php/Funcionalidades#Painel_do_advogado.2C_procurador_ou_defensor